Nota

Como ya habíamos anunciado en nuestro tema de Identidades Trigonométricas en el 4.

En algunos casos es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor que sea equivalente a la unidad (ejemplo d).

Sin embargo si un miembro esta acompañado por la operación + o - y el otro miembro esta acompañado por la expresión del mismo denominador o numerador con diferente signo aplicamos la conjugada de dicha expresión.


a + b --conjugada--> a - b

a + b --conjugada--> a + b

-a - b --conjugada--> -a + b

-a + b --conjugada--> -a - b


Ejemplo:

Senθ/1 - Cosθ = 1 + Cosθ/Senθ

Senθ/1 - Cosθ * 1 + Cosθ/1+ cosθ

Senθ/1 * 1+ Cosθ/-Cos²θ

Senθ * 1 + Cosθ / Sen²θ

1 + Cosθ/ Senθ

= 1 + Cosθ/Senθ

Ejercicio Con Facorizacion

b) 1 - Tg4θ = Sec4θ (Cos²θ - Sen²θ)

+ (Solo se va a relizar del = hacia la derecha para q la igualda de)

= (Sec²θ ) * (Sec²θ) * (Cos²θ - Sen²θ)

= Sec²θ * (Sec²θ * Cos²θ) - (Sec²θ * Sen²θ)

= Sec²θ * (1/Cos²θ * Cos²θ) - (1/Cos²θ * Sen²θ)

+ (Aqui se cancelan los Cos)

= Sec²θ * (1 - Sen²θ/ Cos²θ)

+ ( Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ)

= Sec²θ * (1 - Tg²θ)

= (1 + Tg²θ) * (1 - Tg²θ)

+ ((a - b) * (a + b) = a² - b²)

1 - Tg4θ = 1 - Tg4θ

Ejercicio Sencillo

a) Sec²θ * (1 - Sen²θ) = 1

((1-Sen²θ)Es una Identidad)

Sec² * (Cos²θ) = 1

(Sec²θ = 1/Cos²θ)

1/Cos²θ * Cos²θ = 1

(Se cancela Cos²θ con Cos²θ)

1 = 1

Casos De Factorizacion

Para solucionar una Igualdad se necesitan saber algunos casos de factorización básicos como lo son:

* ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

* ( a - b )² = a² - 2ab + b²

Son los mas importante y si se necesitan mas, deberás aplicar los conocimientos aprendidos del álgebra.

Identidades Fundamentales

Las Identidades fundamentales sirven para remplazar en las igualdades.

Recordemos que la distancia entre dos puntos es:

d² = ( x2 - x1 )² + ( y2 -y1 )²

Si d = 1 entonces x² + y² = 1.

Cosθ = x
Senθ = y

(Cosθ)² + (Senθ)² = 1

Y de esta Identidad Pitagórica se sacan las demás así:

1. Sen²θ + Cos²θ = 1

Al pasar Senθ² da la siguiente:

2. Cos²θ = 1 - Sen²θ

De la 1. identidad pasamos Cosθ² y nos da la 3 identidad:

3. Sen²θ = 1 - Cos²θ

Para obtener la 4. identidad se debe dividir la 1. identidad en Sen²θ:

Sen²θ/Sen²θ + Cos²/Sen²θ = 1/Sen²θ

Recordemos que :

Cos²θ/Sen²θ = Ctg²θ

1/Sen²θ = Csc²θ

Entonces

4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ

Para obtener la 5. identidad se utiliza la 4. identidad asi:

5. Ctg²θ = Csc²θ - 1

Para obtener la 6. identidad se divide la identidad 1. en Cos²θ asi:

Sen²θ/Cos²θ + Cos²θ/Cos²θ = 1/Cos²θ

Recordamos que:

Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ
1/Cos²θ = Sec²θ

6. Tg²θ + 1 = Sec²θ

Para obtener la 7. identidad se utiliza la 6. identidad asi:

7. Tg²θ = Sec²θ - 1


Identidades Fundamentales:

1. Sen²θ + Cos²θ = 1
2. Sen²θ = 1 - Cos²θ
3. Cos²θ = 1 - Sen²θ
4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ
5. Ctg²θ = Csc²θ -1
6. Tg²θ + 1 = Sec²θ
7. Tg²θ = Sec²θ - 1

Funciones Trigonometricas

Es importante saber estas funciones en caso de tener que remplazar en alguna igualdad.

Senθ = y

Cosθ = x

Tgθ = Senθ/Cosθ

Ctgθ = Cosθ/Senθ

Secθ = 1/Cosθ

Csc = 1/Senθ

Identidades Trigonometricas

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los miembros o términos de la variable con funciones trigonométricos. existen algunas identidades llamadas IDENTIDADES FUNDAMENTALES o IDENTIDADES PITAGÓRICAS que permiten demostrar que una igualdad es una identidad.

No existe un método especifico para probar si una igualdad es o no una identidad sin embargo se sugiere:

1. Transformar los miembros de la igualdad en términos de la otra expresión del otro miembro.

2. Si las casos son complicados se deben transformar en términos de Sen y Cos.

3. Factorizar y simplificar si es posible.

4. Algunas veces es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador por un mismo miembro de la igualdad y que sea equivalente a la unidad.