Senθ = Cosθ
Senθ/Cosθ = Cosθ/Cosθ
Tgθ = 1
θ = Tg-1 (1)
θ = 45º
jueves, 29 de octubre de 2009
Ecuaciones Trigonometricas
Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas.
Resolver una ecuación trigonométricas consiste en buscar varios ángulos que satisfacen dicha ecuación, recordar que los ángulos se dan en grados o en radiantes.
Ejemplo:
2 Senθ - 1 = 0
2 Senθ = -1
Senθ = -1/2
θ = sen-1 (1/2)
θ = 30º
Resolver una ecuación trigonométricas consiste en buscar varios ángulos que satisfacen dicha ecuación, recordar que los ángulos se dan en grados o en radiantes.
Ejemplo:
2 Senθ - 1 = 0
2 Senθ = -1
Senθ = -1/2
θ = sen-1 (1/2)
θ = 30º
Ecuacion de 2º grado
- x²
- Toda ecuación de 2º grado tiene 2 soluciones.
Ejemplo:
Sin factorizar
x² - 9 = 0
√x² = + - √9
x = - + 3
o
x² - 3² = 0
(x - 3) (x + 3) = 0
( (a*b)=0 (a=0)o(b=0) )
Si se pide factorizacion
x - 3 = 0 O x + 3 = 0
x = 3 x = -3
- Toda ecuación de 2º grado tiene 2 soluciones.
Ejemplo:
Sin factorizar
x² - 9 = 0
√x² = + - √9
x = - + 3
o
x² - 3² = 0
(x - 3) (x + 3) = 0
( (a*b)=0 (a=0)o(b=0) )
Si se pide factorizacion
x - 3 = 0 O x + 3 = 0
x = 3 x = -3
Ecuaciones
1. Una igualdad.
2. Acompañada de una variable.
3. Depende el grado de variables la ecuación pueden ser:
a) Ecuación lineal o de 1º grado.
b) Ecuación cuadrática o de 2º grado.
c) Ecuación racional (esta determinada por una función)
2. Acompañada de una variable.
3. Depende el grado de variables la ecuación pueden ser:
a) Ecuación lineal o de 1º grado.
b) Ecuación cuadrática o de 2º grado.
c) Ecuación racional (esta determinada por una función)
jueves, 22 de octubre de 2009
Nota
Como ya habíamos anunciado en nuestro tema de Identidades Trigonométricas en el 4.
En algunos casos es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor que sea equivalente a la unidad (ejemplo d).
Sin embargo si un miembro esta acompañado por la operación + o - y el otro miembro esta acompañado por la expresión del mismo denominador o numerador con diferente signo aplicamos la conjugada de dicha expresión.
a + b --conjugada--> a - b
a + b --conjugada--> a + b
-a - b --conjugada--> -a + b
-a + b --conjugada--> -a - b
Ejemplo:
Senθ/1 - Cosθ = 1 + Cosθ/Senθ
Senθ/1 - Cosθ * 1 + Cosθ/1+ cosθ
Senθ/1 * 1+ Cosθ/-Cos²θ
Senθ * 1 + Cosθ / Sen²θ
1 + Cosθ/ Senθ
= 1 + Cosθ/Senθ
En algunos casos es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor que sea equivalente a la unidad (ejemplo d).
Sin embargo si un miembro esta acompañado por la operación + o - y el otro miembro esta acompañado por la expresión del mismo denominador o numerador con diferente signo aplicamos la conjugada de dicha expresión.
a + b --conjugada--> a - b
a + b --conjugada--> a + b
-a - b --conjugada--> -a + b
-a + b --conjugada--> -a - b
Ejemplo:
Senθ/1 - Cosθ = 1 + Cosθ/Senθ
Senθ/1 - Cosθ * 1 + Cosθ/1+ cosθ
Senθ/1 * 1+ Cosθ/-Cos²θ
Senθ * 1 + Cosθ / Sen²θ
1 + Cosθ/ Senθ
= 1 + Cosθ/Senθ
Ejercicio Con Facorizacion
b) 1 - Tg4θ = Sec4θ (Cos²θ - Sen²θ)
+ (Solo se va a relizar del = hacia la derecha para q la igualda de)
= (Sec²θ ) * (Sec²θ) * (Cos²θ - Sen²θ)
= Sec²θ * (Sec²θ * Cos²θ) - (Sec²θ * Sen²θ)
= Sec²θ * (1/Cos²θ * Cos²θ) - (1/Cos²θ * Sen²θ)
+ (Aqui se cancelan los Cos)
= Sec²θ * (1 - Sen²θ/ Cos²θ)
+ ( Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ)
= Sec²θ * (1 - Tg²θ)
= (1 + Tg²θ) * (1 - Tg²θ)
+ ((a - b) * (a + b) = a² - b²)
1 - Tg4θ = 1 - Tg4θ
+ (Solo se va a relizar del = hacia la derecha para q la igualda de)
= (Sec²θ ) * (Sec²θ) * (Cos²θ - Sen²θ)
= Sec²θ * (Sec²θ * Cos²θ) - (Sec²θ * Sen²θ)
= Sec²θ * (1/Cos²θ * Cos²θ) - (1/Cos²θ * Sen²θ)
+ (Aqui se cancelan los Cos)
= Sec²θ * (1 - Sen²θ/ Cos²θ)
+ ( Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ)
= Sec²θ * (1 - Tg²θ)
= (1 + Tg²θ) * (1 - Tg²θ)
+ ((a - b) * (a + b) = a² - b²)
1 - Tg4θ = 1 - Tg4θ
Ejercicio Sencillo
a) Sec²θ * (1 - Sen²θ) = 1
((1-Sen²θ)Es una Identidad)
Sec² * (Cos²θ) = 1
(Sec²θ = 1/Cos²θ)
1/Cos²θ * Cos²θ = 1
(Se cancela Cos²θ con Cos²θ)
1 = 1
((1-Sen²θ)Es una Identidad)
Sec² * (Cos²θ) = 1
(Sec²θ = 1/Cos²θ)
1/Cos²θ * Cos²θ = 1
(Se cancela Cos²θ con Cos²θ)
1 = 1
martes, 20 de octubre de 2009
Casos De Factorizacion
Para solucionar una Igualdad se necesitan saber algunos casos de factorización básicos como lo son:
* ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²
* ( a - b )² = a² - 2ab + b²
Son los mas importante y si se necesitan mas, deberás aplicar los conocimientos aprendidos del álgebra.
* ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²
* ( a - b )² = a² - 2ab + b²
Son los mas importante y si se necesitan mas, deberás aplicar los conocimientos aprendidos del álgebra.
Identidades Fundamentales
Las Identidades fundamentales sirven para remplazar en las igualdades.
Recordemos que la distancia entre dos puntos es:
d² = ( x2 - x1 )² + ( y2 -y1 )²
Si d = 1 entonces x² + y² = 1.
Cosθ = x
Senθ = y
(Cosθ)² + (Senθ)² = 1
Y de esta Identidad Pitagórica se sacan las demás así:
1. Sen²θ + Cos²θ = 1
Al pasar Senθ² da la siguiente:
2. Cos²θ = 1 - Sen²θ
De la 1. identidad pasamos Cosθ² y nos da la 3 identidad:
3. Sen²θ = 1 - Cos²θ
Para obtener la 4. identidad se debe dividir la 1. identidad en Sen²θ:
Sen²θ/Sen²θ + Cos²/Sen²θ = 1/Sen²θ
Recordemos que :
Cos²θ/Sen²θ = Ctg²θ
1/Sen²θ = Csc²θ
Entonces
4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ
Para obtener la 5. identidad se utiliza la 4. identidad asi:
5. Ctg²θ = Csc²θ - 1
Para obtener la 6. identidad se divide la identidad 1. en Cos²θ asi:
Sen²θ/Cos²θ + Cos²θ/Cos²θ = 1/Cos²θ
Recordamos que:
Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ
1/Cos²θ = Sec²θ
6. Tg²θ + 1 = Sec²θ
Para obtener la 7. identidad se utiliza la 6. identidad asi:
7. Tg²θ = Sec²θ - 1
Identidades Fundamentales:
1. Sen²θ + Cos²θ = 1
2. Sen²θ = 1 - Cos²θ
3. Cos²θ = 1 - Sen²θ
4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ
5. Ctg²θ = Csc²θ -1
6. Tg²θ + 1 = Sec²θ
7. Tg²θ = Sec²θ - 1
Recordemos que la distancia entre dos puntos es:
d² = ( x2 - x1 )² + ( y2 -y1 )²
Si d = 1 entonces x² + y² = 1.
Cosθ = x
Senθ = y
(Cosθ)² + (Senθ)² = 1
Y de esta Identidad Pitagórica se sacan las demás así:
1. Sen²θ + Cos²θ = 1
Al pasar Senθ² da la siguiente:
2. Cos²θ = 1 - Sen²θ
De la 1. identidad pasamos Cosθ² y nos da la 3 identidad:
3. Sen²θ = 1 - Cos²θ
Para obtener la 4. identidad se debe dividir la 1. identidad en Sen²θ:
Sen²θ/Sen²θ + Cos²/Sen²θ = 1/Sen²θ
Recordemos que :
Cos²θ/Sen²θ = Ctg²θ
1/Sen²θ = Csc²θ
Entonces
4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ
Para obtener la 5. identidad se utiliza la 4. identidad asi:
5. Ctg²θ = Csc²θ - 1
Para obtener la 6. identidad se divide la identidad 1. en Cos²θ asi:
Sen²θ/Cos²θ + Cos²θ/Cos²θ = 1/Cos²θ
Recordamos que:
Sen²θ/Cos²θ = Tg²θ
1/Cos²θ = Sec²θ
6. Tg²θ + 1 = Sec²θ
Para obtener la 7. identidad se utiliza la 6. identidad asi:
7. Tg²θ = Sec²θ - 1
Identidades Fundamentales:
1. Sen²θ + Cos²θ = 1
2. Sen²θ = 1 - Cos²θ
3. Cos²θ = 1 - Sen²θ
4. 1 + Ctg²θ = Csc²θ
5. Ctg²θ = Csc²θ -1
6. Tg²θ + 1 = Sec²θ
7. Tg²θ = Sec²θ - 1
Funciones Trigonometricas
Es importante saber estas funciones en caso de tener que remplazar en alguna igualdad.
Senθ = y
Cosθ = x
Tgθ = Senθ/Cosθ
Ctgθ = Cosθ/Senθ
Secθ = 1/Cosθ
Csc = 1/Senθ
Senθ = y
Cosθ = x
Tgθ = Senθ/Cosθ
Ctgθ = Cosθ/Senθ
Secθ = 1/Cosθ
Csc = 1/Senθ
Identidades Trigonometricas
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los miembros o términos de la variable con funciones trigonométricos. existen algunas identidades llamadas IDENTIDADES FUNDAMENTALES o IDENTIDADES PITAGÓRICAS que permiten demostrar que una igualdad es una identidad.
No existe un método especifico para probar si una igualdad es o no una identidad sin embargo se sugiere:
1. Transformar los miembros de la igualdad en términos de la otra expresión del otro miembro.
2. Si las casos son complicados se deben transformar en términos de Sen y Cos.
3. Factorizar y simplificar si es posible.
4. Algunas veces es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador por un mismo miembro de la igualdad y que sea equivalente a la unidad.
No existe un método especifico para probar si una igualdad es o no una identidad sin embargo se sugiere:
1. Transformar los miembros de la igualdad en términos de la otra expresión del otro miembro.
2. Si las casos son complicados se deben transformar en términos de Sen y Cos.
3. Factorizar y simplificar si es posible.
4. Algunas veces es necesario multiplicar y dividir el numerador y el denominador por un mismo miembro de la igualdad y que sea equivalente a la unidad.
lunes, 19 de octubre de 2009
Objetivos al Terminar el Tema
*Diferenciar claramente entre un identidad y una ecuacion.
*Enuniciar y demostrar las identidades trigonométricas y una ecuacion.
*Aplicar las identidades fundamentales para demostrar o verificar otras identidades.
*Resolver ecuaciones trigonometricas para angulos mayores de 0º y menos de 360º.
*Resolver ecuaciones trigonometricas para un intervalo cualquiera.
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